章動

章動は歳差運動で発生する短周期で微小な運動です。ここでは章動による天体の位置変化を求める方法を紹介します。

成分の分解

章動の値は、黄道に平行な成分と垂直な成分に分解できます。

黄道に平行な成分 : 黄経の章動 (nutation in longitude)
黄道に垂直な成分 : 黄道傾斜角の章動 (nutation in obliquity)

章動表

ここでは、J.M.Wahrの理論による「1980 IAU Theory of Nutation」を紹介します。まずは、引数T、l、l′、F、D、Ωを下式から計算します。

T : ユリウス世紀(元期J2000.0)
l : 月の平均近点角
l′ : 太陽の平均近点角
F : 月の平均黄経(昇交点=0h)
D : 太陽と月の平均離角
Ω : 月の平均昇交点黄経

T = (観測時のユリウス通日 - 2451545) / 36525
# 2451545は2000年1月1日12時(世界時)のユリウス通日です。
l = 134°57′46″.733 + ((1325 * 360)° + 198°52′02″.633) * T + 31″.310 * T² + 0″.064 * T³
l′ = 357°31′39″.804 + ((99 * 360)° + 359°03′01″.224) * T - 0″.577 * T² - 0″.012 * T³
F = 93°16′18″.877 + ((1342 * 360)° + 82°01′03″.137) * T - 13″.257 * T² + 0″.011 * T³
D = 297°51′01″.307 + ((1236 * 360)° + 307°06′41″.328) * T - 6″.891 * T² + 0″.019 * T³
Ω = 125°02′40″.280 - ((5 * 360)° + 134°08′10″.539) * T + 7″.455 * T² + 0″.008 * T³

計算した引数T、l、l′、F、D、Ωと下記の章動表を用いて、黄経の章動Δψと黄道傾斜角の章動Δεを計算します。

Δψ = Σ_n=1¹⁰⁶(f_n + g_n * T) * sinx
Δε = Σ_n=1¹⁰⁶(h_n + i_n * T) * cosx
x = a_n * l + b_n * l′ + c_n * F + d_n * D + e_n * Ω

n	a	b	c	d	e	f (″)	g (″)	h (″)	i (″)
1	0	0	0	0	1	-17.1996	-0.01742	9.2025	0.00089
2	0	0	0	0	2	0.2062	0.00002	-0.0895	0.00005
3	-2	0	2	0	1	0.0046	0	-0.0024	0
4	2	0	-2	0	0	0.0011	0	0	0
5	-2	0	2	0	2	-0.0003	0	0.0001	0
6	1	-1	0	-1	0	-0.0003	0	0	0
7	0	-2	2	-2	1	-0.0002	0	0.0001	0
8	2	0	-2	0	1	0.0001	0	0	0
9	0	0	2	-2	2	-1.3187	-0.00016	0.5736	-0.00031
10	0	1	0	0	0	0.1426	-0.00034	0.0054	-0.00001
11	0	1	2	-2	2	-0.0517	0.00012	0.0224	-0.00006
12	0	-1	2	-2	2	0.0217	-0.00005	-0.0095	0.00003
13	0	0	2	-2	1	0.0129	0.00001	-0.0070	0
14	2	0	0	-2	0	0.0048	0	0.0001	0
15	0	0	2	-2	0	-0.0022	0	0	0
16	0	2	0	0	0	0.0017	-0.00001	0	0
17	0	1	0	0	1	-0.0015	0	0.0009	0
18	0	2	2	-2	2	-0.0016	0.00001	0.0007	0
19	0	-1	0	0	1	-0.0012	0	0.0006	0
20	-2	0	0	2	1	-0.0006	0	0.0003	0
21	0	-1	2	-2	1	-0.0005	0	0.0003	0
22	2	0	0	-2	1	0.0004	0	-0.0002	0
23	0	1	2	-2	1	0.0004	0	-0.0002	0
24	1	0	0	-1	0	-0.0004	0	0	0
25	2	1	0	-2	0	0.0001	0	0	0
26	0	0	-2	2	1	0.0001	0	0	0
27	0	1	-2	2	0	-0.0001	0	0	0
28	0	1	0	0	2	0.0001	0	0	0
29	-1	0	0	1	1	0.0001	0	0	0
30	0	1	2	-2	0	-0.0001	0	0	0
31	0	0	2	0	2	-0.2274	-0.00002	0.0977	-0.00005
32	1	0	0	0	0	0.0712	0.00001	-0.0007	0
33	0	0	2	0	1	-0.0386	-0.00004	0.0200	0
34	1	0	2	0	2	-0.0301	0	0.0129	-0.00001
35	1	0	0	-2	0	-0.0158	0	-0.0001	0
36	-1	0	2	0	2	0.0123	0	-0.0053	0
37	0	0	0	2	0	0.0063	0	-0.0002	0
38	1	0	0	0	1	0.0063	0.00001	-0.0033	0
39	-1	0	0	0	1	-0.0058	-0.00001	0.0032	0
40	-1	0	2	2	2	-0.0059	0	0.0026	0
41	1	0	2	0	1	-0.0051	0	0.0027	0
42	0	0	2	2	2	-0.0038	0	0.0016	0
43	2	0	0	0	0	0.0029	0	-0.0001	0
44	1	0	2	-2	2	0.0029	0	-0.0012	0
45	2	0	2	0	2	-0.0031	0	0.0013	0
46	0	0	2	0	0	0.0026	0	-0.0001	0
47	-1	0	2	0	1	0.0021	0	-0.0010	0
48	-1	0	0	2	1	0.0016	0	-0.0008	0
49	1	0	0	-2	1	-0.0013	0	0.0007	0
50	-1	0	2	2	1	-0.0010	0	0.0005	0
51	1	1	0	-2	0	-0.0007	0	0	0
52	0	1	2	0	2	0.0007	0	-0.0003	0
53	0	-1	2	0	2	-0.0007	0	0.0003	0
54	1	0	2	2	2	-0.0008	0	0.0003	0
55	1	0	0	2	0	0.0006	0	0	0
56	2	0	2	-2	2	0.0006	0	-0.0003	0
57	0	0	0	2	1	-0.0006	0	0.0003	0
58	0	0	2	2	1	-0.0007	0	0.0003	0
59	1	0	2	-2	1	0.0006	0	-0.0003	0
60	0	0	0	-2	1	-0.0005	0	0.0003	0
61	1	-1	0	0	0	0.0005	0	0	0
62	2	0	2	0	1	-0.0005	0	0.0003	0
63	0	1	0	-2	0	-0.0004	0	0	0
64	1	0	-2	0	0	0.0004	0	0	0
65	0	0	0	1	0	-0.0004	0	0	0
66	1	1	0	0	0	-0.0003	0	0	0
67	1	0	2	0	0	0.0003	0	0	0
68	1	-1	2	0	2	-0.0003	0	0.0001	0
69	-1	-1	2	2	2	-0.0003	0	0.0001	0
70	-2	0	0	0	1	-0.0002	0	0.0001	0
71	3	0	2	0	2	-0.0003	0	0.0001	0
72	0	-1	2	2	2	-0.0003	0	0.0001	0
73	1	1	2	0	2	0.0002	0	-0.0001	0
74	-1	0	2	-2	1	-0.0002	0	0.0001	0
75	2	0	0	0	1	0.0002	0	-0.0001	0
76	1	0	0	0	2	-0.0002	0	0.0001	0
77	3	0	0	0	0	0.0002	0	0	0
78	0	0	2	1	2	0.0002	0	-0.0001	0
79	-1	0	0	0	2	0.0001	0	-0.0001	0
80	1	0	0	-4	0	-0.0001	0	0	0
81	-2	0	2	2	2	0.0001	0	-0.0001	0
82	-1	0	2	4	2	-0.0002	0	0.0001	0
83	2	0	0	-4	0	-0.0001	0	0	0
84	1	1	2	-2	2	0.0001	0	-0.0001	0
85	1	0	2	2	1	-0.0001	0	0.0001	0
86	-2	0	2	4	2	-0.0001	0	0.0001	0
87	-1	0	4	0	2	0.0001	0	0	0
88	1	-1	0	-2	0	0.0001	0	0	0
89	2	0	2	-2	1	0.0001	0	-0.0001	0
90	2	0	2	2	2	-0.0001	0	0	0
91	1	0	0	2	1	-0.0001	0	0	0
92	0	0	4	-2	2	0.0001	0	0	0
93	3	0	2	-2	2	0.0001	0	0	0
94	1	0	2	-2	0	-0.0001	0	0	0
95	0	1	2	0	1	0.0001	0	0	0
96	-1	-1	0	2	1	0.0001	0	0	0
97	0	0	-2	0	1	-0.0001	0	0	0
98	0	0	2	-1	2	-0.0001	0	0	0
99	0	1	0	2	0	-0.0001	0	0	0
100	1	0	-2	-2	0	-0.0001	0	0	0
101	0	-1	2	0	1	-0.0001	0	0	0
102	1	1	0	-2	1	-0.0001	0	0	0
103	1	0	-2	2	0	-0.0001	0	0	0
104	2	0	0	2	0	0.0001	0	0	0
105	0	0	2	4	2	-0.0001	0	0	0
106	0	1	0	1	0	0.0001	0	0	0

真位置を求める

章動まで考慮して計算した位置を、その天体の真位置 (true place) と呼びます。
真位置の赤経α₃、赤緯δ₃、パラメーターL₃、M₃、N₃は、平均黄道傾斜角ε_A、黄経の章動Δψ、黄道傾斜角の章動Δεと、固有運動と歳差を反映したパラメーターL₂、M₂、N₂を用いて下式で計算できます。

L₃ = L₂ - Δψ * cosε_A * M₂ - Δψ * sinε_A * N₂
M₃ = Δψ * cosε_A * L₂ + M₂ - Δε * N₂
N₃ = Δψ * sinε_A * L₂ + Δε * M₂ + N₂
α₃ = atan(M₃ / L₃)
δ₃ = asinN₃

ただし、tanα₃ = sinα₃ / cosα₃ = M₃ / L₃ なので、
L₃ ≥ 0 かつ M₃ ≥ 0 のとき、α₃は第1象限(0h以上6h未満)、
L₃ < 0 かつ M₃ ≥ 0 のとき、α₃は第2象限(6h以上12h未満)、
L₃ < 0 かつ M₃ < 0 のとき、α₃は第3象限(12h以上18h未満)、
L₃ ≥ 0 かつ M₃ < 0 のとき、α₃は第4象限(18h以上24h未満)とします。

章動による位置変化を求めるプログラム

観測日0時(世界時)の天体について、章動による赤道座標の位置変化を一ヶ月分表示します。