地平座標
地平座標は天体の位置を表す天球座標系の一つです。ここでは地平座標の性質と赤道座標から地平座標を求める方法を理解します。
地平座標の性質
地平座標は2つの座標値で表されます。
- 方位角(A)
- 高度(h)
球面三角形の法則
上図の球面三角形では球面三角法のページでまとめたように以下の法則が成り立ちます。
sinasinB = sinbsinA
sinacosB = cosbsinc - sinbcosccosA
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
sinacosB = cosbsinc - sinbcosccosA
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
この法則を用いて赤道座標から地平座標を求めます。
赤道座標から地平座標を求める
上図は球面三角形の法則で示した図を天球上に当てはめたものです。各記号の説明は以下の通りです。
| A | 天の北極 |
| B | 天頂 |
| C | 地平座標を求める天体の位置 |
| a | 辺BCと等しい中心角：90° - h (天頂距離) |
| b | 辺ACと等しい中心角：90° - δ |
| c | 辺ABと等しい中心角：90° - φ |
| O | 観測地点 (天球の中心) |
| N | 真北 |
| S | 真南 |
| P | BとCを結ぶ大円が地平線と垂直に交わる点 |
| H | 天体の時角 |
| φ | 観測地の緯度 |
| A | 地平座標の方位角 |
| h | 地平座標の高度 |
| α | 赤道座標の赤経 |
| δ | 赤道座標の赤緯 |
球面三角形の法則より、
sin(90°-h)sin(360°-A) = sin(90°-δ)sinH
sin(90°-h)cos(360°-A) = cos(90°-δ)sin(90°-φ) - sin(90°-δ)cos(90°-φ)cosH
cos(90°-h) = cos(90°-δ)cos(90°-φ) + sin(90°-δ)sin(90°-φ)cosH
sin(90°-h)cos(360°-A) = cos(90°-δ)sin(90°-φ) - sin(90°-δ)cos(90°-φ)cosH
cos(90°-h) = cos(90°-δ)cos(90°-φ) + sin(90°-δ)sin(90°-φ)cosH
三角関数の余角公式より、
sin(90°-h) = cosh, cos(90°-h) = sinh
sin(90°-δ) = cosδ, cos(90°-δ) = sinδ
sin(90°-φ) = cosφ, cos(90°-φ) = sinφ
sin(90°-δ) = cosδ, cos(90°-δ) = sinδ
sin(90°-φ) = cosφ, cos(90°-φ) = sinφ
三角関数の補角公式より、
sin(360°-A) = -sinA
cos(360°-A) = cosA
cos(360°-A) = cosA
したがって、
coshsinA = -cosδsinH
coshcosA = sinδcosφ - cosδsinφcosH
sinh = sinδsinφ + cosδcosφcosH
coshcosA = sinδcosφ - cosδsinφcosH
sinh = sinδsinφ + cosδcosφcosH
これで、時角Hと赤道座標の赤緯δから、方位角Aと高度hを求めることができます。
時角Hは、地方恒星時θと赤道座標の赤経αとの差で計算できます。
H = θ - α